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天亮了，我起床披上外套，走出门外深吸了几口气。罗曼蒂克山谷的空气带有一种大自然本身的清香味，吸到肺里就觉得精神都变得更好了，非常舒服。在自己以前生活的那个世界，这可不是一般人能够享受到的奢侈。
在湖边洗过脸，漱漱口，米西雅带着我绕湖小跑了两圈，然后从湖里打水烧开，准备早饭。早饭后照例是洗碗、给菜地浇水，打扫房间，她似乎忘了提上课的事。
等这些事都做完以后，她叫我到湖边的草地上坐下来，深呼吸几次并让全身放松，直到心里完全静下来，没有杂念时，便问：“一个月前，我曾告诉过你真正的数学是什么，你对怎样分割实数，什么是无穷小量还有印象吗？”
我仔细想了一会儿，虽然不能说已经完全忘记了，但怎么想都觉得很模糊。米西雅说：“忘记东西并不可怕，只有你完全理解了的东西才能记住，那么现在就让我们来复习一下吧。”
我点点头，米西雅又继续讲道：“你应该知道自然数是源自数手指，随后通过零和负数的加入把自然数扩展成了整数，也知道仅用整数仍然不足以描述客观世界，所以又有了小数、分数、无理数……不过现在我们不研究这些数，只要看一看周围的各种东西，就会发现有些是一个一个可以数清的，有些则是连成一片无法数的，比如湖里的水。人类曾注意到各种东西似乎都可以无限地分割下去，即使现实中做不到这一点，但可以想象只要有厚度为零的理想的刀，一定可以把东西切成无穷小，但永远不能在有限的次数内把大小不为零的东西切成零，而经过无限次分割，则可以实现从‘不为零’到‘零’的连续过渡。”
“这不是跟你最开始讲的相矛盾吗？”我突然回忆起了一点东西。
“确实是有矛盾，只是由于现实中的很多东西会给人这样的感觉，所以人类就把满足这种性质的量抽象为实数，又叫连续量，全体实数的集合称为连续统。有了实数，人类就开始研究通过怎样切割实数来实现从‘不为零’到‘零’的过渡，又通过怎样累加无限接近零的实数来实现从‘零’到‘不为零’的过渡，于是发明了微积分这种专门处理连续量的运算。”
“哦。”
“虽然微积分这种运算对于解决实际问题很有用，但其实没人真的明白从‘不为零’连续地过渡到‘零’的全部细节，也没人真的完全理解‘无穷小量’这种无限接近零的实数本质到底是什么。关键是连续量是人类自己从客观世界中抽象出来的，微积分也是通过人类自己的抽象思考，在连续量这个基础上建立起来的运算，它究竟是不是和真实的客观世界完全吻合，是不是能够对真实的客观世界进行分毫不差的精确描述，谁也说不清楚。”米西雅突然又改变了自己的观点，“所以，我们今天就先来看看真实的世界究竟是不是连续的，因为这是以后所有课程的基础。只有世界确实是连续的，微积分才是正确的；但如果世界真的是完全连续的，微积分本身将是无法理解也没有物理意义的。”
“听起来好矛盾啊。”我抓了抓头。
“这样讲你可能不好理解，下面我讲个故事。请仔细听哦，故事里会有一个陷阱，如果你掉进去了反而是件好事，你会发现里面藏着一个天大的秘密！”米西雅又开始讲故事了，所以我完全意识不到这就是在上课。
“古希腊有个特别厉害的田径运动员，名叫阿基里斯，他无论参加奥运会的短跑还是长跑都能轻轻松松拿冠军，是当时跑得最快的人，一位万众瞩目的体坛明星。可是有一天，一位叫芝诺的学者却发现，阿基里斯竟然连乌龟都追不上！芝诺公布了他的发现，人们一片哗然，阿基里斯自然也很不高兴，就去找芝诺评理，芝诺却不紧不慢地把他的研究过程解释了一遍，结果阿基里斯哑口无言，心服口服。”
“芝诺这么厉害啊？他到底是怎么解释的呢？”
“猜猜看。”米西雅笑嘻嘻地看着我。
“我怎么猜得到呀？难道阿基里斯遇到的乌龟是忍者龟？”对这个问题，我除了挠头还是只能挠头。
“当然不是。芝诺是这么说的：‘如果你和乌龟站在同一条起跑线上，乌龟当然不是你的对手，可是这样对乌龟来说不太公平，因为你的速度是乌龟的100倍，所以就让乌龟的起跑线在你前方100米处，然后你和乌龟同时起跑。你应该很快就能追到乌龟起跑的位置，但这时乌龟已经向前爬行了1米远，你还没追上牠。等你追到乌龟刚才到达的这个位置时，牠又向前爬行了一小段距离，你还是没追上牠。乌龟虽然爬得很慢，但只要牠一刻不停下脚步，你就始终只能追到牠上一刻的位置，不能追到牠现在这一刻所在的位置，这个过程将重复无数次，所以你可以无限接近乌龟，但却无法超越牠。’怎么样，芝诺解释得是不是很完美？”
“是呀，芝诺的解释确实无懈可击，可是我总觉得有哪里不对劲，我从来没见过跑得快的追不上跑得慢的。”
“因为芝诺的解释让你把全部注意力都集中到空间距离上去了，忘记了另一个重要的东西——时间。”
“时间？”
“是的，正是时间。”米西雅说，“芝诺在这里给你挖了个大坑，他让你注意到追上乌龟需要经过空间中的无穷个点和区间，而你会觉得这是理所当然的，因为空间是连续的。但是你一旦注意到需要经过空间中的无穷个点和区间，就会以为这个过程需要花费无限的时间，于是乌龟就追不上了。但既然空间是连续的，时间为什么不是连续的呢？只要时间也是连续的，那么有限的时间中也当然可以分出无穷个点和区间，所以运动的物体自然可以在有限的一段时间内通过空间中的无穷个点和区间，这样芝诺佯谬就解开了。”
“芝诺真狡猾呀！”我猛一拍脑袋。
“别忙，我刚才的解释虽然解决了芝诺佯谬，但还是有一个很核心的问题并没有解决，而且又引出了一个更大的问题。”
“什么问题？”
“就是我开始提到的，世界究竟是不是真的完全连续。”米西雅笑道，“连续意味着无限可分，在直观上，解决芝诺佯谬需要空间和时间同时具有连续性，但这样并不能回答阿基里斯在经过无穷个空间点和区间之后追上乌龟的那一刻究竟是什么情况，然后他又是怎么超过乌龟... -->>
天亮了，我起床披上外套，走出门外深吸了几口气。罗曼蒂克山谷的空气带有一种大自然本身的清香味，吸到肺里就觉得精神都变得更好了，非常舒服。在自己以前生活的那个世界，这可不是一般人能够享受到的奢侈。
在湖边洗过脸，漱漱口，米西雅带着我绕湖小跑了两圈，然后从湖里打水烧开，准备早饭。早饭后照例是洗碗、给菜地浇水，打扫房间，她似乎忘了提上课的事。
等这些事都做完以后，她叫我到湖边的草地上坐下来，深呼吸几次并让全身放松，直到心里完全静下来，没有杂念时，便问：“一个月前，我曾告诉过你真正的数学是什么，你对怎样分割实数，什么是无穷小量还有印象吗？”
我仔细想了一会儿，虽然不能说已经完全忘记了，但怎么想都觉得很模糊。米西雅说：“忘记东西并不可怕，只有你完全理解了的东西才能记住，那么现在就让我们来复习一下吧。”
我点点头，米西雅又继续讲道：“你应该知道自然数是源自数手指，随后通过零和负数的加入把自然数扩展成了整数，也知道仅用整数仍然不足以描述客观世界，所以又有了小数、分数、无理数……不过现在我们不研究这些数，只要看一看周围的各种东西，就会发现有些是一个一个可以数清的，有些则是连成一片无法数的，比如湖里的水。人类曾注意到各种东西似乎都可以无限地分割下去，即使现实中做不到这一点，但可以想象只要有厚度为零的理想的刀，一定可以把东西切成无穷小，但永远不能在有限的次数内把大小不为零的东西切成零，而经过无限次分割，则可以实现从‘不为零’到‘零’的连续过渡。”
“这不是跟你最开始讲的相矛盾吗？”我突然回忆起了一点东西。
“确实是有矛盾，只是由于现实中的很多东西会给人这样的感觉，所以人类就把满足这种性质的量抽象为实数，又叫连续量，全体实数的集合称为连续统。有了实数，人类就开始研究通过怎样切割实数来实现从‘不为零’到‘零’的过渡，又通过怎样累加无限接近零的实数来实现从‘零’到‘不为零’的过渡，于是发明了微积分这种专门处理连续量的运算。”
“哦。”
“虽然微积分这种运算对于解决实际问题很有用，但其实没人真的明白从‘不为零’连续地过渡到‘零’的全部细节，也没人真的完全理解‘无穷小量’这种无限接近零的实数本质到底是什么。关键是连续量是人类自己从客观世界中抽象出来的，微积分也是通过人类自己的抽象思考，在连续量这个基础上建立起来的运算，它究竟是不是和真实的客观世界完全吻合，是不是能够对真实的客观世界进行分毫不差的精确描述，谁也说不清楚。”米西雅突然又改变了自己的观点，“所以，我们今天就先来看看真实的世界究竟是不是连续的，因为这是以后所有课程的基础。只有世界确实是连续的，微积分才是正确的；但如果世界真的是完全连续的，微积分本身将是无法理解也没有物理意义的。”
“听起来好矛盾啊。”我抓了抓头。
“这样讲你可能不好理解，下面我讲个故事。请仔细听哦，故事里会有一个陷阱，如果你掉进去了反而是件好事，你会发现里面藏着一个天大的秘密！”米西雅又开始讲故事了，所以我完全意识不到这就是在上课。
“古希腊有个特别厉害的田径运动员，名叫阿基里斯，他无论参加奥运会的短跑还是长跑都能轻轻松松拿冠军，是当时跑得最快的人，一位万众瞩目的体坛明星。可是有一天，一位叫芝诺的学者却发现，阿基里斯竟然连乌龟都追不上！芝诺公布了他的发现，人们一片哗然，阿基里斯自然也很不高兴，就去找芝诺评理，芝诺却不紧不慢地把他的研究过程解释了一遍，结果阿基里斯哑口无言，心服口服。”
“芝诺这么厉害啊？他到底是怎么解释的呢？”
“猜猜看。”米西雅笑嘻嘻地看着我。
“我怎么猜得到呀？难道阿基里斯遇到的乌龟是忍者龟？”对这个问题，我除了挠头还是只能挠头。
“当然不是。芝诺是这么说的：‘如果你和乌龟站在同一条起跑线上，乌龟当然不是你的对手，可是这样对乌龟来说不太公平，因为你的速度是乌龟的100倍，所以就让乌龟的起跑线在你前方100米处，然后你和乌龟同时起跑。你应该很快就能追到乌龟起跑的位置，但这时乌龟已经向前爬行了1米远，你还没追上牠。等你追到乌龟刚才到达的这个位置时，牠又向前爬行了一小段距离，你还是没追上牠。乌龟虽然爬得很慢，但只要牠一刻不停下脚步，你就始终只能追到牠上一刻的位置，不能追到牠现在这一刻所在的位置，这个过程将重复无数次，所以你可以无限接近乌龟，但却无法超越牠。’怎么样，芝诺解释得是不是很完美？”
“是呀，芝诺的解释确实无懈可击，可是我总觉得有哪里不对劲，我从来没见过跑得快的追不上跑得慢的。”
“因为芝诺的解释让你把全部注意力都集中到空间距离上去了，忘记了另一个重要的东西——时间。”
“时间？”
“是的，正是时间。”米西雅说，“芝诺在这里给你挖了个大坑，他让你注意到追上乌龟需要经过空间中的无穷个点和区间，而你会觉得这是理所当然的，因为空间是连续的。但是你一旦注意到需要经过空间中的无穷个点和区间，就会以为这个过程需要花费无限的时间，于是乌龟就追不上了。但既然空间是连续的，时间为什么不是连续的呢？只要时间也是连续的，那么有限的时间中也当然可以分出无穷个点和区间，所以运动的物体自然可以在有限的一段时间内通过空间中的无穷个点和区间，这样芝诺佯谬就解开了。”
“芝诺真狡猾呀！”我猛一拍脑袋。
“别忙，我刚才的解释虽然解决了芝诺佯谬，但还是有一个很核心的问题并没有解决，而且又引出了一个更大的问题。”
“什么问题？”
“就是我开始提到的，世界究竟是不是真的完全连续。”米西雅笑道，“连续意味着无限可分，在直观上，解决芝诺佯谬需要空间和时间同时具有连续性，但这样并不能回答阿基里斯在经过无穷个空间点和区间之后追上乌龟的那一刻究竟是什么情况，然后他又是怎么超过乌龟... -->>
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